つるかめ算ざん

つるかめ算とは？ 面積図と「仮定」でわかる解き方と教え方

つるかめ算は、中学受験で学ぶ「特殊算」の代表的な単元のひとつです。 「全部ツルだったら？」と仮定して考える方法は、そのあとに学ぶ多くの特殊算の土台にもなります。

このページの上にあるシミュレーターは、お子さんが自分でツルとカメを入れかえながら、答えにたどり着けるように作っています。 この記事では、保護者の方向けに、つるかめ算の考え方と、家で教えるときのポイントをまとめました。

つるかめ算とは

つるかめ算は、次のような問題です。

ツルとカメが合わせて10匹います。足の数の合計は32本です。ツルとカメは、それぞれ何匹いますか。

ポイントは、次の3つがわかっていて、それぞれの数を求めることです。

• 2種類のものがあり、1つあたりの量（ここでは足の数）がそれぞれ決まっている（ツルは2本、カメは4本）
• 合わせた数がわかっている（10匹）
• 量の合計がわかっている（32本）

中国の算術書『孫子算経』（そんしさんけい、4〜5世紀ごろ）にある「雉兎同籠（ちとどうろう）」、つまりキジとウサギの問題が始まりとされています。 それが江戸時代に、坂部広胖（さかべこうはん）の『算法点竄指南録』（さんぽうてんざんしなんろく）で、縁起のよいツルとカメに置きかえられたといわれています。

豆知識：もとの問題と、もとの解き方

もとの問題は「キジとウサギが同じかごに入っていて、頭は35、足は94。キジとウサギはそれぞれ何羽か」というものです。 答えは、キジ23羽・ウサギ12羽です（2×23＋4×12＝46＋48＝94）。

伝えられている解き方は、足の数を半分にしてから頭の数を引くというものです。 足を半分にすると、キジは1本・ウサギは2本とみなせます。94÷2＝47 から頭の数35を引くと、ウサギ1羽につき1本ずつ多い分だけが残るので、47−35＝12 がウサギの数になります。キジは 35−12＝23羽です。

題材が変わっても、考え方は同じです。

学ぶ時期は、塾やカリキュラムによって異なります。

解き方1：「全部ツルだったら」と仮定する

つるかめ算の基本の解き方は、「全部ツルだったら？」と仮定して考える方法（この記事では仮定法と呼びます）です。 どちらか一方だけだと仮定して、実際との差から考えます。 例題を、全部ツルだと仮定して解いてみます。

1. 全部ツルだと仮定する：10匹全部がツルなら、足は 2×10＝20本
2. 実際との差を出す：実際は32本なので、32−20＝12本 足りない
3. 1匹あたりの差を出す：ツル1匹をカメ1匹に入れかえると、足は 4−2＝2本 増える
4. 割り算で求める：足りない12本を2本ずつ埋めるので、12÷2＝6。入れかえた数だから、カメが6匹。ツルは 10−6＝4匹
5. 検算する：2×4＋4×6＝8＋24＝32本。合計の数も 4＋6＝10匹 で、問題とぴったり合います

ここで大事なのは、「全部ツル」と仮定したのに、先に求まるのはカメの数だということです。 12÷2 で出てくる6は「ツルからカメに入れかえた数」なので、カメの数になります。お子さんが最もつまずきやすいところなので、後の「つまずきやすいポイント」でも詳しく説明します。

「全部カメ」と仮定してもよい

逆に、全部カメだと仮定しても解けます。

1. 10匹全部がカメなら、足は 4×10＝40本
2. 実際は32本なので、40−32＝8本 多すぎる
3. カメ1匹をツル1匹に入れかえると、足は2本減る
4. 8÷2＝4 なので、ツルが4匹。カメは 10−4＝6匹

こちらでは、先にツルの数が求まります。どちらで考えても答えは同じです。

ページ上部のシミュレーターで、実際にツルをカメに入れかえてみてください。1匹入れかえるたびに足が2本ずつ増えるのが確かめられます。

解き方2：面積図で考える

面積図は、つるかめ算を図で考える方法です。 たての長さを「1匹あたりの足の数」、よこの長さを「匹数」にすると、長方形の面積が「足の本数」になります。

ツルの長方形（たて2）とカメの長方形（たて4）を横に並べると、2つの面積の合計が32本です。

このうち、点線で囲んだ「全部ツルと仮定した」長方形の面積は 2×10＝20 です。 全体の面積32から20を引いた残り12が、カメの長方形の上に飛び出した部分（斜線）になります。

斜線の部分は、たてが 4−2＝2、面積が12の長方形です。 だから、よこの長さ（＝カメの数）は 12÷2＝6 になります。

計算の手順は仮定法と同じですが、面積図を使うと「なぜ 差÷2 なのか」を目で確かめられます。 面積図は、平均算や濃度算など、あとで学ぶ単元でも使う考え方です。つるかめ算で慣れておくと、その後の学習がスムーズになります。

ページ上部のシミュレーターで実際に入れかえてみてください。入れかえるたびに面積図の「たりない部分」が小さくなっていく様子が見られます。

子どもがつまずきやすいポイント

1. 先に求まるのがどちらの数か、わからなくなる

「全部ツルと仮定したのに、12÷2 で出てきた6はカメの数」というところで混乱するお子さんは多いです。 「6は入れかえた数。ツルをカメに入れかえたのだから、カメの数だね」と、言葉で意味を確認するのが効果的です。 シミュレーターの体験モードで、実際に1匹ずつ入れかえてみると、納得しやすくなります。

2. 「÷2」を丸暗記してしまう

ツルとカメの問題だけを練習していると、「差を2で割る」と覚えてしまいがちです。 自転車と三輪車なら1台あたりの差は1個、50円玉と100円玉なら1枚あたりの差は50円です。

• 例：自転車と三輪車が合わせて10台、タイヤが24個 → 全部自転車なら 2×10＝20個、24−20＝4個 足りない、1台あたり 3−2＝1個 増えるので 4÷1＝4。三輪車4台・自転車6台
• 例：50円玉と100円玉が合わせて12枚で850円 → 全部50円玉なら 50×12＝600円、850−600＝250円 足りない、1枚あたり 100−50＝50円 増えるので 250÷50＝5。100円玉5枚・50円玉7枚

「1つ入れかえると、いくつ増える（減る）？」を毎回自分で確かめる習慣をつけましょう。

3. 引き算の順番を間違える

全部カメと仮定したときは、仮定した数のほうが実際より多くなります（40−32）。 「足りない」のか「多すぎる」のかを言葉にしてから引き算をすると、間違いが減ります。

4. 面積図のたてとよこを逆にかく

たては「1つあたりの量」、よこは「数」です。面積（たて×よこ）が「量の合計」になることを、最初に一緒に確認しておきましょう。

5. 検算をしない

答えが出たら、「合わせた数」と「量の合計」の2つとも合っているか確かめます。 片方だけ確かめて満足してしまうことがよくあります。シミュレーターの問題モードでは、間違えたときにどちらが合っていないかをヒントで表示します。

家での教え方

まずは「表」で規則に気づかせる

式や面積図に入る前に、表を書いてみるのがおすすめです。全部ツルの状態から、1匹ずつカメに入れかえていきます。

「1匹入れかえるたびに2本ずつ増える」ことにお子さん自身が気づけば、「足りない12本を2本ずつ埋めるから 12÷2」という式の意味が自然にわかります。 シミュレーターの体験モードは、この表を1行ずつ体験できるように作っています。

「なぜ÷2なの？」を説明してもらう

解けたら、「どうして2で割ったの？」と聞いてみてください。 自分の言葉で説明できれば、題材が変わっても応用できます。説明に詰まったら、表や面積図に戻りましょう。

題材を変えて、同じ考え方が使えることを確かめる

ツルとカメで解けるようになったら、自転車と三輪車、お金の問題など、題材を変えた問題に取り組みます。 シミュレーターの問題モード「ふつう」では、題材を変えた問題が出ます。「むずかしい」では、数が大きい問題や、全部カメと仮定して考える問題も出ます。

面積図は、仮定の考え方がわかってから

面積図は便利ですが、最初から図の書き方だけを教えると、手順の暗記になりがちです。 表や仮定法で「入れかえると増える」感覚がつかめてから、面積図に進むと理解が深まります。

まとめ

• つるかめ算は、2種類のものについて「合わせた数」と「量の合計」から、それぞれの数を求める問題
• 基本は「全部ツルだったら」と仮定し、実際との差 ÷ 1つあたりの差 で求める
• 全部ツルと仮定すると、先に求まるのはカメの数（入れかえた数）
• 面積図を使うと、なぜ差を割るのかが目で確かめられる
• 家では、表で規則に気づかせる → 自分の言葉で説明させる → 題材を変えて確かめる、の順がおすすめ

まずはページ上部のシミュレーターで、お子さんと一緒にツルとカメを入れかえてみてください。

最終更新日: 2026/09/25